• Схемы вышивки крестом птицы
  • Схемы однородных предложений
  • Фенечки схемы для начинающих

  • Результатов  Обновить

    Схемы равносильности неравенств

     

     

    Равносильность уравнений. Цель: Рассмотреть понятие равносильности уравнений и равносильные преобразования уравнений. I. Сообщение темы и цели уроков. П. Изучение нового материала. Разумеется, рассматриваемый материал не является новым: начиная с 7 класса изучались Различные типы уравнений и неравенств. С одной переменной, системы неравенств с одной переменной, системы уравнений с двумя переменными. Столь Огромный интерес К решению уравнений и неравенств вполне оправдан: именно эти объекты чаще всего являются математическими моделями реальных ситуаций в повседневной жизни, науки и технике. В завершение обучения еще раз обратимся к уравнениям и неравенствам, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций. Необходимо обсудить Принципиальные вопросы, Связанные с решением уравнений с одной переменной: равносильные уравнения и равносильные преобразования уравнений, посторонние корни и потеря корней в уравнениях и т. д. Определение 1. Два уравнения с одной переменной Fix) = G( X) И Р(х) = H( X) Называют Равносильными, Если множества их решений совпадают. Другими словами, два уравнения будут Равносильными, Если они Имеют одинаковые корни Или если оба уравнения Не имеют корней. А) Уравнения Х - 3 = 0 и log3X = 1 Равносильны, Т. к. оба имеют. Б) Уравнения Х2 + 1 = 0 и Ig(|x| + 4) = 0 равносильны, т. к. каждое из. Определение 2. Если каждый корень уравнения Fix) = G( X) (1) является корнем уравнения Р(х) = H( X) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). А) Уравнение Х - 3 = 0 имеет единственный корень х = 3, который является также корнем уравнения Х2 - 5х + 6 = 0 (второй корень этого. Квадратного уравнения jc = 2). Поэтому уравнение Х2 - 5х + 6 = 0 Яв Ляется следствием Уравнения Х - 3 = 0. Б) Уравнение Х2 - 4х + 3 = 0 имеет корни jci = 3 и лг2 = 1, уравнение Х2 - 5х + 6 = 0 имеет корни дгз = 3 и Х4 = 2 (т. е. оба уравнения имеют Только один общий корень Jc = 3). Поэтому ни одно из уравнений Не является следствием Другого. Очевидно, что два уравнения Равносильны Тогда и только тогда, когда Каждое Из них является Следствием другого. При решении любых уравнений используется стандартная схема: с помощью преобразований исходное Уравнение заменяется более Простым (как правило, линейным или квадратным), которое затем решают. Показательное уравнение 7. 2 = 72х_| заменяем иррациональным уравнением V3x-2 = 2х -1. После возведения в квадрат обеих частей уравнения получаем квадратное уравнение: Зх-2 = (2х-1)2 или. 3 0 = 4х2 -7х+3. Корни этого уравнения Х\ = 1 и Х2 =— Являются. Также корнями исходного показательного уравнения. Разумеется, идеальными являются такие преобразования, которые приводят к Равносильным Уравнениям. В этом случае окончательное уравнение имеет Те же корни, Что и исходное. Если преобразования приводят к Уравнениям-следствиям, То полученное уравнение может иметь и те корни, которые не имеет исходное уравнение (посторонние корни). Но все корни исходного уравнения сохраняются, т. е. Потери корней не происходит (могут лишь появиться посторонние корни). В идеале решение уравнения осуществляется в три этапа. Первый этап - технический. Проводится цепочка преобразований от исходного до самого простого, которое затем решают. Второй этап - анализ решений. Анализируются выполненные преобразования. Выясняют, все ли такие преобразования являются равносильными. Третий этап - проверка. Если некоторые преобразования могут привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение. В связи с изложенной схемой решения уравнения возникают по крайней мере четыре основных вопроса. 1. Какие преобразования приводят к равносильному уравнению? 2. Какие преобразования могут привести к уравнению-следствию? 3. Если в цепочке преобразований было получено уравнение- 4. В каких случаях преобразования могут привести к потере кор. Последовательно ответим на эти вопросы. 1. Теоремы о равносильности уравнений. В основном при решении уравнений используются шесть Теорем равносильности. Первые три теоремы Безусловные. Они гарантируют равносильность преобразований без дополнительных условий. Их применение обычно происходит автоматически, без особых размышлений. Теорема 1. Если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнения У]2х + \ - 2х + 5 = 0 и. V2x + 1 = 2х - 5 равносильны. Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же Не Четную Степень, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнения л/Зх + 2 = х И 3x + 2 = xJ равносильны. Теорема 3. Показательное уравнение Af ^ X ' = A ^ X ' (где A > О, А Ф 1) равносильно уравнению Fix ) = G ( X ). Например, показательное уравнение з =32дг"5 равносильно иррациональному уравнению. Следующие три теоремы Условные. Они справедливы лишь при выполнении определенных условий. При их применении потребуются некоторая внимательность и аккуратность. Сначала напомним понятие, важное для определенных типов уравнений. Определение 3. Областью определения уравнения Fix ) = G ( X ) (или областью допустимых значений (ОДЗ) переменной такого уравнения) называют множество тех значений переменной Х, При которых имеют смысл выражения^*) и G ( X ). Б) нигде в этой области не обращается в нуль, ОДЗ уравнения ---------- =------- задается условиями 2х + 1 > 0 и. Имеет смысл и нигде не обращается в нуль. Поэтому уравнение Fix ) H ( X ) V2x + l=2x-5 равносильно уравнению =---- (после ум- Теорема 5. Если обе части уравнения Дх) = g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень П Получится уравнение, равносильное данному: F "( X ) = G "( X ). ОДЗ иррационального уравнения V3x-2 = 2х-1 задается нера- 2 венством Зх - 2 > О, решение которого х > —. В этой ОДЗ обе части уравнения неотрицательны. Возведем в квадрат обе части уравнения и получим равносильное квадратное уравнение: Зх - 2 = (2х - I)2 или 0 = 4х2 - 7х + 3. Корни Х\ = 1 и. Х2 =— также будут корнями исходного уравнения. Разработка урока на тему: Равносильность уравнений , опубликована: 21 июня 2011 в рубрике: Конспекты занятий.

     

    Предыдущая страница   Следущая страница



    Кто на форуме
    Рекорд одновременного пребывания 140, это было 27.02.2016 в 19:09.
    Рекорд пользователей за один день был: 130, 16.11.2012.
    На данный момент посетителей ещё не было.
    Темы: 1824, Сообщений: 450, Пользователи: 465, Активные участники: 20
    Приветствуем нового пользователя, ЕленаПудрик
    День рождения (4), skiftr (3), ЕленаПудрик (7)

        Есть новые сообщения
      Нет новых сообщений

    Часовой пояс GMT +4, время: 11:58.


    Работает на vBulletin® версия 3.7.2.
    Copyright ©2000 - 2016, Jelsoft Enterprises Ltd.
    Перевод: zCarot
    OstrovOK
    Рейтинг@Mail.ru